常微分方程是微积分方程中常见且应用广泛的方程。这里我们将讨论常微分方程中最简单的变量分离微分方程。设一阶微分方程为：
其中f(x，y)是给定的函数，我们的工作是求微分方程y=y(x)的解，但一般用初等方法是解不出来的。
这个微分方程，但是当微分方程右端f(x，y)取一些特殊类型时，可以用初等积分法求解。本文讲的是一个重要的特殊情况。
至此，开篇段落中的微分方程变成了
这样的方程叫做变量分离方程。例如，下面的图都是变量分离的方程，
对于分离变量的方程，可以用初等积分法求其解。为了简单掌握变量分离方程的解法，我们特分两步讨论。假设g(y)是常数，设g(y)=1，那么微分方程就变成了
为了对其积分，我们假设函数h(x)在区间A内，其中O是任意常数。为了确定通解的任意常数O，需要附加初始条件。
这里，y0是任意给定的初始值。为了从通解中找到满足初始条件的解，设x=x0，得到y(x0)=O，从而确定O=y0，从而得到
假设g(y)不是常数。此时微分方程右端与未知数Y有关，所以不能像上面说的那样直接用不定积分求解。我们需要克服这个困难，所以假设y=y(x)是开篇段落中微分方程的一个解，即它满足
并且如果g(y)不等于0，那么上面的等式可以写成
这样，自变量X和未知数Y就彼此分开了，所以我们可以对方程进行不定积分
其中，和分别是固定的积分下限，O是任意常数，因此
那么这个等式就变成了
从上面的讨论我们知道微分方程y=y(x)的解满足隐函数方程G(y)=B(x) O上面是常微分方程中最简单的可分离变量方程，非常简单。
