能量和功率信号在讨论功率谱密度之前，我们首先要知道什么是能量信号和功率信号？
中学物理我们都知道，当一个电流流过一个负载时间，那么这个负载一定会消耗能量，那么能量的计算公式就是：
那么在单位时间中，单位负载(1欧姆)消耗的能量就变成了瞬时功率(
与时间统计是我们需要的频谱。
)，即：
综上所述，我们可以得到信号的总能量作为瞬时功率的积分，即：
信号的平均功率为：
如果信号的平均功率是有界的，那么信号被定义为
动力信号。
能量是有限的，功率为0的信号就是能量信号；
一个能量无限而功率有限的信号，变成了功率信号；
周期信号一般是功率信号。
用傅里叶变换计算信号的功率谱密度(PSD)我们知道，时域信号的傅里叶变换的前提是需要满足其积分在时域有界的条件，即：
因此，根据Parseval定理，信号的能量可以在时域和频域进行转换，即：
其中x (f) 2通常称为能量密度、谱密度或功率谱密度。
对于周期信号，平均功率可定义为[1]:
同时，信号功率和能量之间的关系是：
因此，对周期信号(非周期信号视为周期信号在周期内的极限)的功率谱密度的直观理解是基于当前频率f的1 Hz以内的瞬时能量。
随机信号的功率谱密度分析。鉴于采用频域方法进行系统分析，在考虑随机信号系统输入时，同样的方法是否仍然适用。很快就会看到，经过一些修改后，它们仍然是有用的，并且修改后的方法在处理随机信号和随机信号方面提供了基本相同的优点。首先要考虑的是一个问题？傅立叶变换能否用于任意随机样本函数的分析。对于一个随机信号，我们知道其频谱中的任何一个频点都是随机的。其次，对于一个随机信号，它不满足时域可达的条件，一个平稳随机过程的样本永远不可能满足这个条件(包括脉冲等广义函数除外。).如果信号具有非零功率，则它具有无限的能量，如果它具有有限的能量，则它具有零功率(平均功率)。很快我们就可以看到，一类没有傅里叶积分，但平均幂有限的函数，可以用统计的方法来描述。假设x(t)是随机过程的样本函数，这个函数x(t)的截断版本被定义为：
定义了这个截断函数，从而可以得到xT(t)的傅里叶变换。截断函数xT(t)的傅立叶变换对可以由传统的傅立叶变换公式来表示。由于x(t)是一个功率信号，因此必然有一个与其相关的功率谱密度函数，并且在该密度下的总面积必然是平均功率，尽管x(t)没有经过傅里叶变换。根据Parseval定理，截断的信号满足：
如果等式两边同时除以1/2T，则：
上面公式的左边类似于上面分析的周期信号的平均功率。对于每个状态的遍历随机过程，当t趋近于无穷大时，值逐渐趋近于随机信号的均方值。但是在这个特殊的点上，t趋近于无穷大时的极限不能拿出来，因为XT(f)不存在于这个极限中。回想一下XT(f)是一个随机变量，是x(t)的样本函数集。上式右边的期望极限值可以合理假设存在，因为它实际上是一个正值，根据上式确实存在。期待上述公式，并交换积分阶数和t趋于无穷大得到：
上述公式定义为随机信号在时间意义上的平均功率。右边定义为随机信号的功率谱密度，即：
对于非稳定随机过程，为了在重新处理方程时区分积分变量，引入了t1和t2的下标：
最后，期望E[xT(t1)xT(t2)]被标识为截断过程的自相关数，其中Rxx(t1，t2)可以表示为：
我们可以看到功率谱密度是一个自相关函数时间平均的傅里叶变换。上面的公式对平稳过程有效。对于平稳过程，相关函数与时间无关，所以：
可以看出，平稳随机过程的谱密度只是自相关函数的傅里叶变换。
以上是
维纳-辛钦定理
的主要内容
它在分析随机信号时非常重要，因为它提供了时间域。
[相关函数Rxx(u)]和频域
[光谱密度，S(f)]。注意唯一性其实就是傅里叶变换。因此，对于平稳随机过程，相关函数是谱密度函数的逆变换。然而，对于非平稳过程，相关函数不能从谱密度中恢复。只要有相关性时间平均值是可恢复的。本文后半部分主要参考一篇英文文献及其https://blog.csdn.net/qq_24598387/article/details/79442830.附参考文献：功率谱估计
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