随着金融危机的发生，金融业越来越重视金融风险的控制，金融风险管理已经成为金融数学研究的一个重要分支。本文讨论的布莱克-斯科尔斯方程为未完成金融合约的低价提供了理性基础，开创了复杂投资的新时代，催生了庞大的全球金融产业。
在布莱克-斯科尔斯公式中，符号代表这些变量：
=标的资产的收益波动/期货，S=其现货价格(当前)；
=变化率，V=金融衍生品价格；
R=无风险利率；
t=时间 .
布莱克斯科尔斯支持大规模经济增长。到2007年，在国际金融体系中交易的衍生品价值为每年1万亿美元。这是过去一个世纪世界制造业创造的所有产品总价值的10倍(经通胀调整后)。更复杂的金融工具的发明的缺点是它们的价值和风险越来越不透明。因此，该公司聘请了具有数学天赋的分析师来制定类似的公式，告诉他们这些新工具的价值及其风险。不幸的是，当市场条件发生变化时，他们忘记了询问结果的可信度。
以及布莱克斯科尔斯在1973年发明的方程；不久之后，Robert Merton提供了补充意见。它适用于一个简单而古老的衍生品：期权。主要有两种：认沽期权赋予买方以约定价格在指定时间卖出商品的权利。看涨期权与此类似，但它给出的是买入权，而不是卖出权。这个等式提供了一个系统的方法来计算期权在到期前的价值。期权可以在任何地方出售时间。由于方程的高效率，默顿和斯科尔斯获得了1997年的诺贝尔经济学奖。(布莱克当时已经去世，没有资格参选。)
1997年诺贝尔经济学奖得主默顿和斯科尔斯
任何人都会同意，如果每个人都知道衍生品的确切价值，人们怎么赚钱？该公式要求用户估计值的数量。但利用衍生品赚钱的主要方法是赢得你的赌注——购买可以以更高价格出售或价值高于预期的成熟衍生品。赢家从输家那里得到好处。在任何一年，75%到90%的期货交易者都会亏损。当次级抵押贷款泡沫破裂时，世界各地的银行损失了数百亿美元。在随后的恐慌中，纳税人被迫跟着买单，但买单的是政治，而不是数理经济学。
布莱克-斯科尔斯公式涉及四个量。三个可以直接测算时间，安全期货资产价格和无风险利率。这是理论利率，意味着投资者可以零风险赚取利润，比如国债。第四个量是资产的波动性。这是一个描述市场价值变化的不稳定量。这个公式假设资产的波动性不变，需要修正。波动可以通过对价格变化的统计分析来衡量，但无法准确衡量，也不能保证万无一失。测量结果与现实不符。
许多金融模型背后的思想可以追溯到1900年的路易斯巴奇利尔，他认为股票市场的波动可以用一种叫做布朗运动的随机过程来建模。在每一个时刻，股价要么上涨，要么下跌，模型假设这些事件有固定的概率。它们可能是同等可能的，或者其中一个比其他的可能性更大。这就像一个人站在街上，反复抛硬币来决定是前进一小步还是后退一小步。他反复无常。他的仓位对应股价，随机上涨或下跌。布朗运动最重要的统计特征是它的均值和标准差。平均值是一个短期的平均价格，通常在一个特定的方向上浮动。涨跌取决于股市。标准差可以认为是价格与平均值的平均偏差，由标准统计公式计算得出。对于股票价格来说，这叫做波动性，衡量价格波动的稳定性。在时间价格图上，波动对应的是之字形走势。
布朗运动
莱克斯科尔斯实现了巴切莱特的想法。它没有直接给出期货的价格(应该卖出还是买入)。这就是数学家所说的偏微分方程，表达的是其他变量变化时价格的变化率。这个等式提供了一个具体的看跌期权价值公式，一个看涨期权公式。幸运的是，方程是可以解的。
布莱克斯科尔斯的早期成功鼓励了金融部门为不同的金融工具开发一系列相关的等式。传统银行可以使用这些等式来评估贷款和交易，并预测潜在的问题。然而，许多传统银行并没有这么谨慎。很快，银行也进入了越来越多的投机企业。
任何现实的数学模型都依赖于简化和假设。基于套利定价理论的Black-Scholes方程，其中浮动和波动是常数。这种假设在金融理论中很常见，但对于真实市场来说往往是错误的。该方程还假设没有交易成本，卖空没有限制，资金总是可以以已知的、固定的、无风险的利率借出和借入。但现实往往大相径庭。
次贷危机相关金融产品链示意图
因为股市的大幅波动应该是极其罕见的，所以这些假设是成立的，风险通常也很低。但在1987年10月19日，黑色星期一，全球股市在几个小时内损失了超过20%的价值。根据模型的假设，这种极端事件几乎不可能发生。数学专家纳西姆尼古拉斯塔勒布在他的畅销书《黑天鹅》中将这种极端事件称为黑天鹅。但是在1697年，荷兰探险家威廉德拉明在后来被称为“澳大利亚天鹅河”的地方发现了大量的黑天鹅。所以，现在这句话指的是一个事实上会出现，但随时可能被广泛误传的假设。
股票市场的剧烈波动在泡沫运动的预测中更为常见。原因是不切实际的假设——忽略了潜在的黑天鹅。但是通常模型是非常适用的，随着时间的通过，信心也有所增加。许多银行家和交易员忘记了这个模型有其局限性。他们用这个公式作为护身符。如果出了问题，数学魔法可以保护他们免受批评。
银行、对冲基金和其他投机者正在大量交易复杂的衍生品，如信用违约掉期。它们在定价后也被视为资产。这意味着它们可以用作其他购买的安全支付。当一切变得更加复杂时，用来评估价值和风险的模型就偏离了现实。下面某个地方有房产，市场假设房产价值会永远保持上涨，所以这些投资是无风险的。
Black-Scholes方程在数学物理中有解，解定义在实数轴上，时间连续且变化率平滑。这种模式可能不适合金融界。传统的数理经济学并不总是符合实际。失败了，就严重失败了。因此，物理学家、数学家和经济学家都在寻找更好的模型。
在这些努力的最前沿，数学的一个新分支——复杂性科学将市场建模为一组根据特定规则的个体互动。这些模型显示了从众心理(市场交易者复制其他市场交易者的行为)的破坏性影响。上世纪几乎每一次金融危机都是被一群人推到边缘的。它让一切都在同一个地方时间破产了。按照工程师的观点，如果一座桥倒了，其他的都会倒。
通过研究生态系统，普遍知道经济模型不稳定，主要是因为金融体系设计不良。用鼠标移动数十亿美元的设施可能会越来越快地获利，但这也使股市震荡传播得更快。
金融崩溃应该归咎于等式吗？应该还是不应该。布莱克-斯科尔斯法案可能会导致崩盘，但这只是因为它被滥用了。无论如何，这个等式只是不负责任的金融、政治无能、不正当的激励和监管松懈的大杂烩中的一种成分。
尽管有所谓的专业知识，但金融部门并没有比随机投机更好的执行力。股市过去了20年，不知道何去何从。该系统过于复杂，无法根据错误的预感和直觉进行操作，但目前的数学模型无法完全代表现实。整个系统不为人所知，而且岌岌可危。世界经济急需大刀阔斧的改革，这需要更多的数学，而不是更少。这可能是火箭科学，但不是魔术。
