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数学是一个充满方块的世界。
一个方程可以把大量的信息浓缩成一个简单的公式。
数学家的任务不仅仅是推导这些方程，还要求解它们以发现其中包含的信息。
一个经常提到的问题是：
数学是发明还是发现？
也许最合适的答案是——，两者皆是。创建方程是一个发明的过程，解方程是一个发现的过程。
如果要选最伟大的数学方程，毕达哥拉斯定理(勾股定理)，费马大定理，欧拉恒等式等。一定在其中。
一些著名方程的例子。
方程也可以描述宇宙，比如万有引力定律，爱因斯坦场方程，质能方程等等。对于这些方程，也许你已经在很多不同的文章中或多或少的了解了。
所以，今天我们要讨论的是几个不同的方程，它们伟大而深刻，无论是在数学领域还是在我们的生活中都有着极其重要的作用。
Ax=b
也许是线性代数中最简单的方程之一。然而，就是这样一个简单的等式在许多方面改变了世界。背后的意义可能没有爱因斯坦的场方程或者薛定谔的方程那么神奇，也没有费马大定理那么难解，但可以说，我们生活中的几乎一切都会被这个方程无限影响。
线性矩阵方程。
在这个等式中，
x
是未知的，
b
是已知的，
A
是一个愿意
x
映射到
b
实际上，在这个等式中，算子A可以是很多东西。它可以是一个数，一个方阵，一个长方阵，甚至是一个微分运算.这个等式最简单的例子是
A
、
x
和
b
当它们都是简单的数字时。当.的时候
A0
这个方程有唯一的解。
x=b/A。
一个更复杂但非常有趣的情况发生了
A
是一个矩阵，并且
x
和
b
当它是一个矢量时。举个简单的例子，假设你需要购买
x
葛平河
y
一个香蕉，2元一个苹果，3元一个香蕉，你有17元的预算；同时，从补充维生素C的角度来看，每个苹果有4个单位的维生素C，每个香蕉有3个单位，总的维生素C摄入量需要25个单位。所以问题来了，
x
和
y
价值观是什么？
按照通常的思路，我们可以很容易地通过设置方程来解决这个问题：
如果你用矩阵方程
Ax=b
形式，这组方程可以写成：
解这个简单的方程会比以前难一点，需要构造一个逆矩阵。
A
，制作
最后得到：
在这个例子中，只有两个未知数，很容易求解。但这类矩阵方程的求解难度会随着未知数的增加而迅速增加。当一个矩阵涉及n个未知数时，求解的难度会增加到n的程度。
Ax=b
它的应用范围远远超出了这个购物的例子，从医学影像技术到天气预报，从飞机设计到桥梁建设等等。它是任何涉及大量未知数的问题的中心方程，我们要做的就是从一组已知关系中确定这些未知数。
那么应该怎么解方程呢？
Ax=b
那又怎么样？主要有两种方法。一个是基于
高斯消去法
例如
直接的
方法，其目标是找到矩阵。
A
高斯
完善它。高斯消元法仍以多种形式使用，是解决未知数个数小于10万的最佳方法之一。
然而，这种方法不太适合于那些未知数较多的问题。其计算时间与N成正比，非常耗时耗内存。因此，对于这种情况，一些更新的方法将是更好的选择，包括
共轭梯度法
由.代表
重复
方法
尤其是。这种迭代法会先对解进行初步猜测，然后通过迭代依次改进这个猜测，直到得到最终解。这种方法经常用于医学成像和其他技术中。它的一个显著优点是，当我们认为解决方案足够好时，我们可以随时停止这个过程。因此，迭代法现在被广泛使用。
除了这两种，还有
多重网格方法
这是目前最快最好的方法，但也是最复杂的方法。
等式
Ax=x
和矩阵
本征值
关于。在这个等式中，
A
可以是矩阵或微分运算符，并且
和
x
特征值方程
这个等式到底是什么意思？现在，假设
A
是一个简单的22矩阵：
因此
x
和
有什么区别？经过计算，可以得出结论：
也就是说，
的可能值是3和2，它们是矩阵a的值。
本征值
；和对应于特征值的向量
x
它叫做
特征向量。
计算一个矩阵的特征值和特征向量的方法其实并不复杂，它只需要让矩阵A的特征值
满足：
这是
det(A)
表示矩阵。
A
的决定因素，
我
代表单位矩阵。例如，如果
A
仍然是一个22矩阵：
因此
det(A-I)=0
它可以写成：
的值可以通过解这个方程得到。通常
对于一个nn矩阵，对应的det(A-I)=0有n个解。
那么这一切和横膈膜有什么关系呢？如果得到的是实数，说明振动会减弱消失；如果是一个复数，就意味着系统会振荡。
对一个男人来说
n
矩阵，行列式将是一个
n
亚多项式精确解
n次多项式很难。因此，
即使用最快的计算机求解矩阵的特征值方程也不容易。目前最好的算法叫QR算法，但是速度慢，不好用。
但需要求解矩阵特征值方程，通过矩阵特征值方程不仅可以知道悬索桥的共振频率，还可以计算分子的振动频率。它的应用是非常多变的。以量子力学中的薛定谔方程为例：
薛定谔方程。
我们知道，求解薛定谔方程可以找到描述量子力学系统状态的波函数，这意味着几乎所有我们想知道的东西。但是很难解决。然而，在计算机程序中，这个等式可以
如果你正在听一个交响乐团，你能根据声音判断出演奏的是什么音乐吗？如果你又有一张模糊的照片，你能重新创建原来没有模糊的照片吗？这些问题都是可以回答的。
使用此组
求解方程：第一个方程叫做
傅里叶变换
，第二个是
傅立叶逆变换
傅立叶变换(上)和傅立叶逆变换(下)。
在傅立叶变换中，
f(t)
是时间的函数，
F()
是频率函数；
是波的频率，
F()
表示波的振幅。如何理解这个构图对的方程？我们以交响乐团为例。当乐队演奏一个乐章时，不同的乐器必须演奏不同频率的音符。第一个等式可以告诉我们每种乐器演奏的声音有多大，而第二个等式可以告诉我们不同的乐器如何组合起来发出我们听到的所有声音。
此外，当不同的乐器演奏相同的音符时，它们听起来非常不同。原因是每种乐器演奏的不仅仅是音符本身，还有音符的所有泛音。这些泛音的幅度因乐器而异，所以听起来差别很大。
现在，如果我们把乐器演奏的内容
f(t)
记录到第一个方程，然后是函数
F()
可以告诉我们不同泛音的幅度。如果我们知道一件乐器不同泛音的振幅，我们就能再现它的声音。这就是合成器的工作原理。
傅立叶变换发现长笛、双簧管和小提琴的不同泛音。
上图是笛子、双簧管、小提琴的泛音，都是通过傅里叶变换计算出来的。从图中可以看出，笛子泛音较少，所以音色比较纯净；相反，小提琴有大量的泛音，所以音色更丰富。
因此，傅立叶变换是一种函数
f(t)
转换成另一个函数。
F()
方法；傅里叶逆变换可以把F()变回f(t)。
除了声音，傅立叶变换在信号和图像处理中也起着非常重要的作用。例如，当我们试图通过通信信道传递信息时，信息往往是失真的；例如，当我们给一个物体拍照时，照片变得模糊不清。我们已经详细了解了这种扭曲和模糊背后的过程。
假设
f(t)
是通过信道的信号，
g()
是导致信号失真的“模糊”函数。这种模糊性是通道的特性，因此通道的输出
高温
可以通过以下等式获得：
功能
高温
以.为名
f(t)
和
g()
的卷积，通常写为：
卷积很难直接计算，直接计算需要大量的计算时间。那样地
然而，傅立叶变换为这个方程提供了一个简单的表达式：
这个结果被称为
卷积定理
这是一个等式，你不能过分强调它对现代电信的重要性。这是计算。
高温
提供了一种直观有效的方法：先搞清楚
f(t)
和
g(t)
傅里叶变换，把它们相乘，然后通过傅里叶逆变换，就可以得到h。
此外，如果接收的信号是已知的
高温
，试图找出答案
f(t)
，那么H可以先进行傅里叶变换，然后除以
g(t)
傅里叶变换，然后用傅里叶逆变换，就可以找到
f(t)。例如，如果您有一张模糊的照片，函数
高温
表示模糊照片的强度级别，则
f(t)
它是原始非模糊照片的强度级别。所以通过刚才说的过程，可以把模糊的照片恢复成清晰的样子。
用傅里叶变换恢复模糊照片的一个例子。|图片来源：克里斯巴德
但是，在实际应用中，我们会考虑比这个简单方程更多的因素，因为
高温
19世纪，法国机械工程师
克劳德-路易纳维
(克劳德-路易纳维尔)
和英国数学家。
乔治斯托克斯
(乔治斯托克斯)
推导出描述流体的一组方程，称为
纳维尔-斯托克斯方程
（
NS方程
)。在某种程度上，它们被视为牛顿运动定律的延伸。这组方程组可能看起来很复杂，但它们与我们有着千丝万缕的联系，几乎无时无刻不在我们的生活中出现，比如天气气候。
纳维尔-斯托克斯方程。
如果我们观察大气中的一个点，空气在这个点上会有一个速度。
u
，密度
还有压力。
P。此外，此时的空气也会受到地球自转的影响。
f
和重力。
g
的影响。这些量都存在于NS方程中，描述了在这一点上速度随时间的变化是如何与空间中速度和压强的变化联系起来的。
在等式中
铼
当流体的粘度很高时，称为雷诺数
(例如蜂蜜)
，雷诺数很低；当流体的粘度低时
(例如空气或水)
，雷诺数高。
最神奇的是，无论是飓风的演变，还是洋流的行为；无论是飞机周围流动的空气，还是我们体内流动的血液……所有这些流体的物理性质都可以用这组方程组来描述。
然而，在NS方程中有一些令人头痛的问题。第一个问题是——的方程组极难求解。目前，只有少数精确解是已知的，它们通常代表没有实际物理价值的情况。
为了找到一些真正有物理意义的情况
(例如管道中的水流)
数学家和科学家做了大量的工作来寻找该方程的有效近似解。有专门的计算机程序来寻找这些方程的数值解。例如，气象局将使用这样的程序来预测天气。这些程序也用于飞机和汽车的设计，血液循环的研究，污染的影响，以及恒星内部的分析。
另一个令人头疼的问题是，即使是最快的计算机，这些程序也需要大量的时间来计算，而且这些计算机只能解决一些相对简单的问题。它们不能被处理。
湍流
3354这种流体在小范围内的复杂行为。目前还没有一个计算机程序能准确模拟湍流，只能粗略近似。试想一下，我们每次模拟安全临界的情况，比如火灾的影响，或者核电站的冷却剂泄漏，我们用的都是这些误差值在20%左右的近似结果，和理想情况还是相差很远的。
与湍流密切相关。如果一个系统可以用一个简单的数学方程来描述，但它的行为是复杂的和不可预测的，那么它就是一个混沌系统。天气难以预测的原因是NS方程似乎存在混沌解，这使得准确预测未来两周或更长时间的天气非常困难。罗伦兹
(爱德华洛伦茨)
这个现象最早是在20世纪60年代提出的，当时他正在研究简化的NS方程，也就是现在的
洛伦兹方程。
洛伦兹方程。
洛伦兹方程是由三个常微分方程组成的方程组。虽然它们比NS方程简单得多，但仍然可以有效地近似大气流动。在20世纪60年代，洛伦茨使用新开发的电子计算机来寻找这些方程的近似解。但是结果让他大吃一惊！因为他得到了一个不规则且非常不稳定的解。如果解被画出
(x，y)
图，你可以看到它们的复杂性。
奇怪的吸引子。
你一定见过这个蝴蝶形状的曲线，现在它被称为“
奇怪的吸引子”
(奇怪的吸引子)。洛伦茨对这个结果很满意，因为他终于明白了为什么天气如此复杂。
SIR方程
非常相似。在这个模型中，
S
代表易感人群，
我
用来预测天气的洛伦兹方程，是不能做长期预测的。
这些问题对于我们用ns方程理解周围的物质世界非常重要。但对于数学家来说，他们思考的关于ns方程的问题更基本，也更难：
数学家研究的不是我们能不能解ns方程，而是他们有没有解。到目前为止，没有人能回答这个问题。数学家对解的存在性有不同的看法。可以预见，在未来很长一段时间内，
NS方程
解的存在是难以解决的。解决了这个问题，
它也解决了千年奖难题的第六个问题。
我们今天要讲的最后一个方程有一个很有趣的名字——。
淋浴方程。这个方程不仅是数学上的，还控制着现实世界的很多东西。它已应用于气候动力学、激光、厄尔尼诺现象、农业、人口动力学、一般控制理论等领域。这是一个值得更好理解的等式。
淋浴方程式。
这个方程描述的现象其实很简单。想象一下，你正在洗澡，发现水太冷了，你就像调节热水一样调节旋钮。在这个调整的瞬间，什么都不会发生，因为热水绕过水管需要一定的时间。所以你迫不及待地把水温越调越高。最后，水终于流过水管，到达花洒，落在你的身上。立刻，你赶紧把水温调低。过了一会儿，凉水落在你身上，你不情愿地继续转动旋钮调节水温，为了找到合适的水温不断调试.这是很多人都经历过的情况。淋浴方程描述了这类具有输出时滞的系统。
如果
x(t)
是我们在淋浴时感受到的水温，所以调节旋钮引起的这个温度的变化就发生在当时。
之前，
代表延迟，表示水流过管道所需的时间；
指示淋浴响应旋钮设置变化的速度。
当然，淋浴是我们生活中重要的一部分，但这个方程的应用意义远远不止控制淋浴。也许最重要的应用之一是它在气候动力学研究中的重要性。我们知道许多气候现象需要时间才能产生影响。例如，如果我们现在改变排放到大气中的二氧化碳量，那么我们需要等待一段时间才能看到这种变化对地球温度的实际影响。这种延迟使得碳减排的影响难以预测，从方程的解来看，可能会导致不可控的振荡。
另一个例子是厄尔尼诺和南方涛动。
(ENSO)
太平洋中南部的温度变化是一种不规则的温度变化。ENSO是由洋流和大气之间的相互作用引起的，这将改变海洋的温度。这里的延迟是由洋流从南美西海岸流向亚洲东海岸，然后再返回所需的时间造成的。海洋温度的变化随着洋流流动所需的时间而延迟，非常适合用淋浴方程建模。厄尔尼诺是一种可以影响当地甚至整个世界经济的现象。如果能更好地预测，将有助于太平洋地区的人们提前做好应对准备。
……
数学方程的发明也许是人类作为智慧生命的最突出的证明之一。我们寻找能够描述物质世界所有规律的方程，比如桥梁的建造、疾病的传播和原子的运动。上述五个方程的实用性在某种程度上极大地改变了我们的世界，它们实际上是
只是这些数学宝藏中的一些。
这些数学方程帮助我们更好地理解周围世界的运行，更好地感受宇宙中存在的无数不可思议的规律。
本文摘自并整理自数学家克里斯巴德2020年4月28日在格雷欣学院的演讲《改变了世界的方程》。
原标题：改变世界的5个方程式
资料来源：新原则研究所
编辑：米老猫
来源：中国科学院新华物理研究所
