折纸中的「降维」：这对父子解出了困扰学界十多年的几何难题(折纸模型中的数学世界pdf)

选自Quantamagazine
瑞秋克劳威尔
机器心脏编译
机器之心编辑部
这一结果可能有助于研究人员回答一个更重要的问题，即如何将一个物体从第四维展平到第三维。
计算机科学家埃里克德梅因(Erik Demaine)和他的父亲、艺术家兼计算机科学家马丁德梅因(Martin Demaine)多年来一直在挑战折纸的极限。他们复杂的折纸雕塑被纽约现代艺术博物馆永久收藏。十年前，PBS还播出了一部以他们为主题的艺术纪录片。
埃里克6岁时，两人开始一起工作。现在埃里克已经成为麻省理工学院的教授。他说，“我们有一家公司叫Erik and Dad Puzzle Company，专门制作拼图，卖给加拿大的玩具店。」
埃里克从他父亲那里学到了基础数学和视觉艺术，但马丁也从他儿子那里学到了高等数学和计算机科学。“现在我们都是艺术家和数学家/计算机科学家，”埃里克说。“我们在许多项目上进行了合作，尤其是那些跨越多个学科的项目。」
他们的最新成果是一个数学证明，去年10月发表在杂志《Computational Geometry》上。
论文链接：3359 www . science direct . com/science/article/ABS/PII/s 092577212100298
在题为《使用可数折痕对所有多面体流形进行连续展平》的论文中，Erik等人指出，他们证明了如果标准折叠模型被扩展到允许出现可数个折痕，则3D中的任何有限多面体流形都可以被连续展平为2D，同时保持固有距离并避免交叉。
这个结果回答了Demaine和他的儿子以及Erik的导师Anna Lubiw 2001提出的一个问题。他们想知道是否有可能采取任何有限的多面体(或平面)形状(如立方体而不是球体或无限平面)，然后用折痕将其折叠平整。
当然不能剪也不能撕形状。此外，形状的固有距离应该保持不变，“也就是说，‘你不能拉伸或收缩这种材料’”，埃里克说。而且，他指出，这种类型的折叠还必须避免交叉，这意味着“我们不希望纸张穿过自己”，因为这在现实世界中不会发生。“当一切都在3D中连续移动时，满足这些限制将非常具有挑战性”。总而言之，这些约束意味着简单地挤压形状是不可行的。
埃里克和他儿子的研究表明，你可以完成这种折叠，但前提是你使用无限折叠策略。然而，在此之前，几位作者也在2015年发表的一篇论文中提出了另一种实用技术。
论文链接：3359erikdemaine.org/papers/flattening东正教_ jcdccgg2015full/paper.pdf
在这篇论文中，他们研究了一种更简单形状的折叠问题：正交多面体，其面以直角相交，并且垂直于x、y和z坐标轴中的至少一个。满足这些条件会迫使形状的面是矩形的，这使得折叠更容易，就像折叠冰箱盒子一样。
“这种情况更容易计算，因为每个角落看起来都一样。只是两张脸垂直相交。埃里克说。
2015年成功后，研究人员开始使用这种展平技术来处理所有有限多面体。但非正交多面体的面可能是三角形，也可能是梯形，适用于冰箱盒子的折痕策略不适用于金字塔。而对于非正交多面体，任意有限个折痕总会产生一些相交于同一顶点的折痕。
所以Erik和其他人考虑使用其他方法来避免这个问题。经过一番探索，他们找到了解决非凸物体展平问题的方法：——立方体点阵，这是一种三维无限网格。在立方体晶格的每个顶点，许多面相交并共享一条边，这使得展平任何顶点都非常困难。
但是研究人员最终找到了解决办法。他们先找一个“离顶点很远”的可以展平的点，再找另一个可以展平的点。他们不断重复这个过程，接近问题中的顶点，并在移动过程中展平更多位置。
这个过程需要一直持续下去。一旦中断，就会有更多的问题需要解决。这篇论文的作者之一，新加坡国立大学的杰森Ku说：“在问题峰附近，每个切片都将通过变得越来越小而变平。」
“在这种情况下，切片不是实际的切割，而是一个概念性的切片，用于想象将形状分成更小的片段并将其展平。然后我们在概念上把这些小切片“粘”在一起，得到原始的表面。埃里克德梅因说。
研究人员将同样的方法应用于所有非正交多面体。通过从有限的“概念”切片移动到无限的“概念”切片，他们基于数学极限的思想创建了一个程序，得到了展开的平面，解决了初始问题。
美国史密斯学院计算机科学家、数学家约瑟夫奥罗克(Joseph O’Rourke)称赞道，“我从未想到过使用无限折痕。他们以一种非常聪明的方式改变了构成解决方案的标准。」
Erik Demaine试图将这种无限折叠方法应用于更抽象的形状。奥洛克最近建议使用这种方法将四维物体展平为三维。与此同时，Erik Demaine表示，他们仍然希望探索多面体是否可以用有限的折痕展平，并对这种可能性持乐观态度。
在电脑上玩折纸的神童
毫不夸张地说，埃里克德米扬是一个神童。他12岁去加拿大留学，14岁早早毕业，获得学士学位。20岁时在麻省理工学院任教，21岁成为教授，23岁在滑铁卢大学发表博士论文，获得加拿大“州长金质奖章”和NSERC博士奖学金。同年，他获得麦克阿瑟奖。
12岁之前，埃里克在家由父亲马丁德梅因教授文化知识。虽然马丁只有高中学历，但他是一位知名的艺术家和数学家。
Erik的主要研究方向是折纸算法和计算理论，现在和父亲Martin一起在MIT任教。他们在计算机中模拟了大量的算法，模拟了折纸的过程，并以此为基础，在现实世界中设计出折纸艺术品。同时，通过创作折纸艺术品，埃里克德米恩(Erik Demiane)可以逆向改进算法，改进算法进一步刺激折纸艺术创作，从而形成现实-虚拟、算法-艺术的循环。
参考：3359 www . quanta zine . org/father-son-team-solutions-geometry-problem-with-infinite-folds-20220404/
https://www.x-mol.com/paper/1386871662666866688/t
http://www.archcollege.com/mobile.php m=indexa=appDetailsid=28655